Question

5．袋中装有黑球和白球共7个，从中任取2个球都是白球的概率为$\frac{1}{7}$．现在甲、乙两人从袋中轮流摸取1球，甲先取，乙后取，然后甲再取…，取后不放回，直到两人中有一人取到白球为止，每个球在每一次被取出的机会是相等的，用ξ表示终止时所需要的取球次数．
（1）求袋中原有白球的个数；
（2）求随机变量ξ的概率分布列及期望．

Answer 1

分析 （1）设袋中原有n个白球，由题意列出方程求出n的值；
（2）由题意知ξ的可能取值为1，2，3，4，5；计算对应的概率值，列出ξ的概率分布，计算出数学期望Eξ．

解答 解：（1）设袋中原有n个白球，由题意知
$\frac{1}{7}$=$\frac{{C}_{n}^{2}}{{C}_{7}^{2}}$=$\frac{\frac{n（n-1）}{2}}{\frac{7×6}{2}}$=$\frac{n（n-1）}{7×6}$，--------3分
所以n（n-1）=6，
解得n=3或n=-2（舍去），
即袋中原有3个白球；----------6分
（2）由题意知ξ的可能取值为1，2，3，4，5．
且P（ξ=1）=$\frac{3}{7}$；
P（ξ=2）=$\frac{4×3}{7×6}$=$\frac{2}{7}$；
P（ξ=3）=$\frac{4×3×3}{7×6×5}$=$\frac{6}{35}$；
 P（ξ=4）=$\frac{4×3×2×3}{7×6×5×4}$=$\frac{3}{35}$；
P（ξ=5）=$\frac{4×3×2×1×3}{7×6×5×4×3}$=$\frac{1}{35}$．
所以取球次数ξ的概率分布如下表所示：

ξ	1	2	3	4	5
P	$\frac{3}{7}$	$\frac{2}{7}$	$\frac{6}{35}$	$\frac{3}{35}$	$\frac{1}{35}$

∴Eξ=1×$\frac{3}{7}$+2×$\frac{2}{7}$+3×$\frac{6}{35}$+4×$\frac{3}{35}$+5×$\frac{1}{35}$=2．------12分（第2问每个答案一分）

点评 本题考查离散型随机变量的概率及概率分布与数学期望的计算问题，是综合性题目．