Question

已知函数f（x）=

x+1-a

a-x

（a∈R且x≠a）．
（1）证明：对定义域内所有x，f（x）+2+f（2a-x）恒为定值；
（2）设函数g（x）=x²+|（x-a）f（x）|，求g（x）的最小值．

Answer 1

考点：函数恒成立问题,函数的最值及其几何意义

专题：函数的性质及应用

分析：（1）先根据已知得到f（2a-x），带入f（x）+2+f（2a-x）直接运算即可；
（2）分情况讨论x≥a-1和x＜a-1两类情况，去掉绝对值，利用二次函数的性质，即可确定g（x）的最小值．

解答： 解（1）证明：∵f（x）=

x+1-a

a-x

，
∴f(2a-x)=

2a-x+1-a

a-2a+x

，
∴f(x)+2+f(2a-x)=

x+1-a

a-x

+2+

2a-x+1-a

a-2a+x

=

x+1-a

a-x

+2+

a-x+1

x-a

=

x+1-a+2a-2x-a+x-1

a-x

=0为定值
∴命题得证．
（2）g（x）=x²+|x+1-a|（x≠a）
①当x≥a-1且x≠a时，g(x)=x2+x+1-a=(x+

1

2

)2+

3

4

-a
如果a-1≥-

1

2

即a≥

1

2

时，则函数在[a-1，a）和（a，+∞）上单调递增g(x)min=g(a-1)=(a-1)2
如果a-1＜-

1

2

即当a＜

1

2

且a≠-

1

2

时，g(x)min=g(-

1

2

)=

3

4

-a
当a=-

1

2

时，g（x）最小值不存在；
②当x≤a-1时g(x)=x2-x-1+a=(x-

1

2

)2+a-

5

4

如果a-1＞

1

2

即a＞

3

2

时g(x)min=g(

1

2

)=a-

5

4

如果a-1≤

1

2

即a≤

3

2

时g(x)在(-∞，a-1)上为减函数g(x)min=g(a-1)=(a-1)2
当a＞

3

2

时(a-1)2-(a-

5

4

)=(a-

3

2

)2＞0，当a＜

1

2

时(a-1)2-(

3

4

-a)=(a-

1

2

)2＞0
综合得：当a＜

1

2

且a≠-

1

2

时  g（x）最小值是

3

4

-a
当

1

2

≤a≤

3

2

时 g（x）最小值是（a-1）²；
 当a＞

3

2

时 g（x）最小值为a-

5

4

当a=-

1

2

时  g（x）最小值不存在．

点评：本题考查绝对值函数的化简，利用二次函数性质求最值，以及分类讨论的数学思想，属于难题．