Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且a_n+S_n=1（n∈N^*）．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若数列{b_n}满足b_n=3+log₄a_n，设T_n=|b₁|+|b₂|+…+|b_n|，求T_n．

Answer 1

考点：数列的求和,等比数列的通项公式

专题：综合题,等差数列与等比数列

分析：（1）由a_n+S_n=1，得a_n+1+S_n+1=1，两式相减，即可求数列{a_n}的通项公式；
（2）确定数列{b_n}的通项，可得其正数项，再分类求T_n．

解答： 解：（1）由a_n+S_n=1，得a_n+1+S_n+1=1，
两式相减，得a_n+1-a_n+S_n+1-S_n=0．
∴2a_n+1=a_n，即a_n+1=

1

2

a_n．
又n=1时，a₁+S₁=1，∴a₁=

1

2

．又

an+1

an

=

1

2

，
∴数列{a_n}是首项为

1

2

，公比为

1

2

的等比数列．
∴a_n=a₁q^n-1=

1

2

•（

1

2

）^n-1=（

1

2

）ⁿ．
（2）b_n=3+log₄（

1

2

）ⁿ=3-

n

2

=

6-n

2

．
当n≤6时，b_n≥0，T_n=b₁+b₂+…+b_n=

n(11-n)

4

；
当n＞6时，b_n＜0，
T_n=b₁+b₂+…+b₆-（b₇+b₈+…+b_n）
=

6×5

4

-[（n-6）（-

1

2

）+

(n-6)(n-7)

2

•（-

1

2

）]
=

n2-11n+60

4

．
综上，T_n=

n(11-n) 4 (n≤6) n2-11n+60 4 (n≥7)

．

点评：本题主要考查了利用数列的递推公式求解数列的通项公式，求解数列的和方法的应用，属于数列知识的综合应用．