Question

已知函数f（x）=x+

1

x

．
（1）判断f（x）在（1，+∞）上的单调性并加以证明；
（2）求f（x）在[2，6]的最大值、最小值．

Answer 1

考点：基本不等式,函数单调性的判断与证明

专题：函数的性质及应用

分析：（1）利用函数单调性的定义即可证明；
（2）利用函数的单调性即可得出最值．

解答： 解：（1）函数y=x+

1

x

在区间（1，+∞）上是增函数．
任取x₁，x₂∈（1，+∞），且x₁＜x₂．
f（x₂）-f（x₁）=x₂+

1

x2

-x₁-

1

x1

    
=（x₂-x₁）+

x1-x2

x1x2

=（x₂-x₁）（1-

1

x1x2

）．  
当x₁，x₂∈（0，1]时，∵x₂-x₁＞0，1-

1

x1x2

＞0，
∴f（x₂）-f（x₁）＞0，即f（x₁）＜f（x₂）．
故函数y=x+

1

x

在区间（1，+∞）上是增函数．
（2∵函数y=x+

1

x

在区间（1，+∞）上是增函数．
当x=2时，函数有最小值是

5

2

；
 当x=6时，函数有最大值是

37

6

．

点评：本题考查了函数单调性的定义及其应用，属于基础题．