Question

已知函数f（x）=

1

a

-

1

x

（a≠0）
（1）求证：f（x）在（0，+∞）上是单调递增函数；
（2）证明函数f（x）没有奇偶性．

Answer 1

考点：函数单调性的判断与证明,函数奇偶性的判断

专题：函数的性质及应用

分析：（1）利用函数单调性的定义，设x₂＞x₁＞0，再将f（x₁）-f（x₂）作差后化积，证明即可；
（2）令x取特殊值验证，举反例来否定f（x）的奇偶性．

解答： 解：（1）证明：设x₂＞x₁＞0，
∵f（x₂）-f（x₁）=

1

a

-

1

x2

-（

1

a

-

1

x1

）=

1

x1

-

1

x2

=

x2-x1

x1x2

，
∵x₂-x₁＞0，x₁x₂＞0，
∴f（x₂）-f（x₁）＞0，
∴f（x₂）＞f（x₁）．  
∴f（x）在（0，+∞）上是单调递增函数．  
（2）证明：∵f(-1)=

1

a

+1， f(1)=

1

a

-1，
∵f（-1）≠f（1）∴函数f（x）不是偶函数．
又∵f（-1）≠-f（1）∴函数f（x）不是奇函数．

点评：本题考查的知识点是函数奇偶性的判断，函数单调性的判断与证明，其中（1）的关键是掌握函数单调性的定义，（2）的关键是熟练掌握函数奇偶的定义．