Question

已知圆C与x轴交于A（-1，0）和B（3，0），与y轴交于点M（0，3）．
（1）求△ABM的面积；
（2）求线段AM的垂直平分线l的方程，并化为一般式；
（3）求圆C的方程；
（4）判别直线3x+4y+7=0与圆C的位置关系．

Answer 1

考点：圆的标准方程,直线的一般式方程,直线与圆的位置关系

专题：直线与圆

分析：（1）由题意可得，△ABM的面积为

1

2

|AB|•y_M，计算求得结果．
（2）求得线段AM的中点坐标以及AM的斜率，可得AM的垂直平分线l的斜率，再利用点斜式求得线段AM的垂直平分线l的方程，再化为一般式．
（3）根据直线和圆相交的性质可得圆心C在线段AB的中垂线x=1上，设圆心C（1，b），则由|CA|=|CM|求得b=1，可得圆心C的坐标和半径|CA|的值，从而求得圆的方程．
（4）求得圆心C（1，1）到直线3x+4y+7=0的距离大于半径，可得直线和圆相离．

解答： 解：（1）△ABM的面积为

1

2

|AB|•y_M=

1

2

•4•3=6．
（2）由于线段AM的中点为（-

1

2

，

3

2

），且AM的斜率为

3-0

0+1

=3，故AM的垂直平分线l的斜率为-

1

3

，
故线段AM的垂直平分线l的方程为 y-

3

2

=-

1

3

（x+

1

2

），化为一般式为x+3y-4=0．
（3）根据直线和圆相交的性质可得圆心C在线段AB的中垂线x=1上，设圆心C（1，b），
则由|CA|=|CM|可得2²+b²=1¹+（b-3）²，求得b=1，故圆心C（1，1）、半径为|CA|=

5

，
故圆的方程为 （x-1）²+（y-1）²=5．
（4）由于圆心C（1，1）到直线3x+4y+7=0的距离为

|3+4+7|

5

=

14

5

＞

5

，
故直线和圆相离．

点评：本题主要考查用点斜式求直线的方程，求圆的标准方程，直线和圆的位置关系的判定，属于基础题．