Question

9．已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1的左、右顶点分别为A、B，点M为C上不同于A、B的任意一点，则直线MA、MB的斜率之积为（　　）

• A． $\frac{1}{4}$
• B． -4
• C． -$\frac{1}{4}$
• D． 4

Answer 1

分析 求得A和B点坐标，求得直线MA和MB的斜率，由M在椭圆上，x₀²=4-4y₀²，即可求得k₁•k₂=$\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}+2}$•$\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}-2}$=$\frac{{y}_{0}^{2}}{{x}_{0}^{2}-4}$=-$\frac{1}{4}$．

解答 解：由题意得，椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1焦点在x轴上，a=2，b=1，
设M（x₀，y₀）（y₀≠0），A（-2，0），B（2，0），
直线MA的斜率k₁=$\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}+2}$，MB的斜率k₂=$\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}-2}$，
又点M在椭圆上，
∴$\frac{{x}_{0}^{2}}{4}+{y}_{0}^{2}=1$（y₀≠0），x₀²=4-4y₀²，
∴k₁•k₂=$\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}+2}$•$\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}-2}$=$\frac{{y}_{0}^{2}}{{x}_{0}^{2}-4}$=-$\frac{1}{4}$，
直线MA、MB的斜率之积-$\frac{1}{4}$，
故选C．

点评 本题考查椭圆的标准方程，以及椭圆的简单性质的应用，直线的斜率公式的应用，考查计算能力，属于基础题．