Question

20．已知实数a，b均大于0，且$（{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}}）\sqrt{{a^2}+{b^2}}≥2m-4$总成立，则实数m的取值范围是（-∞，2+$\sqrt{2}$]．

Answer 1

分析 求得（$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{b}$）$\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}$的最小值，可得2m-4$≤2\sqrt{2}$，即可得到m的范围．

解答 解：实数a，b均大于0，（$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{b}$）$\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}$≥2$\sqrt{\frac{1}{ab}}$•$\sqrt{2ab}$=2$\sqrt{2}$，
当且仅当a=b取得等号，
由题意可得2m-4$≤2\sqrt{2}$，
解得m≤2+$\sqrt{2}$．
故答案为：（-∞，2+$\sqrt{2}$]．

点评 本题考查不等式的恒成立问题的解法，注意运用转化思想和基本不等式，考查运算能力，属于基础题．