Question

给出下列四个命题：
①命题“若α=

π

4

，则tanα=1”的否命题是“若α≠

π

4

，则tanα≠1”；
②命题：“若整系数一元二次方程ax²+bx+c=0有有理根，那么a，b，c中至少有一个是偶数”．用反证法证明则假设是：“假设a，b，c中至多有两个是偶数”；
③已知A（1，0），B（-1，0），点C是圆x²+y²-6x-8y+21=0上的动点，则△ABC面积最大值是4；
④若函数f（x）=

1

3

x³-x²+ax+10在区间[-1，4]上是单调函数，则实数a的取值范围是（-∞，-8]∪[-3，+∞）．
其中正确命题的序号是

 

．

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用

专题：函数的性质及应用,直线与圆,简易逻辑

分析：①利用命题与其否命题的关系可判断①与②的正误；
③作出图形，可求得△ABC面积最大值，从而可知③的正误；
④利用导数法及二次函数的性质，解不等式

f′(-1)≥0 f′(4)≥0

或

f′(-1)≤0 f′(4)≤0

，即可求得实数a的取值范围，从而可知④的正误．

解答： 解：①命题“若α=

π

4

，则tanα=1”的否命题是“若α≠

π

4

，则tanα≠1”，正确；
②命题：“若整系数一元二次方程ax²+bx+c=0有有理根，那么a，b，c中至少有一个是偶数”．用反证法证明则假设是：“假设a，b，c中没有一个是偶数”，故②错误；
③已知A（1，0），B（-1，0），点C是圆x²+y²-6x-8y+21=0，即（x-3）²+（y-4）²=4上的动点，

由图可知，当PC⊥x轴，且点C为直线PC与该圆上部的交点时，△ABC面积S最大，且S_max=

1

2

×2×（4+2）=6，故③错误；
④∵函数f（x）=

1

3

x³-x²+ax+10在区间[-1，4]上是单调函数，f′（x）=x²-2x+a，
∴

f′(-1)≥0 f′(4)≥0

或

f′(-1)≤0 f′(4)≤0

，即

3+a≥0 16-8+a≥0

或

3+a≤0 16-8+a≤0

，
解得：a≥-3或a≤-8，即实数a的取值范围是（-∞，-8]∪[-3，+∞），故④正确；
综上所述，正确命题的序号是①④．
故答案为：①④．

点评：本题考查命题的真假判断与应用，着重考查四种命题的关系，考查函数的单调性质与圆的方程的应用，考查等价转化思想与运算求解能力，属于难题．