Question

已知椭圆C：

x2

4

+y2=1，椭圆C的内接平行四边形ABCD的一组对边分别过椭圆的两个焦点，如图所示，则平行四边形ABCD面积的最大值是（　　）

• A、2
• B、4

  3

• C、4
• D、8

Answer 1

考点：椭圆的简单性质

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程,圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：设椭圆C的内接平行四边形ABCD，写出直线AB、CD的方程，求出|AB|以及平行线AB、CD的距离d；
写出平行四边形ABCD的面积S的表达式，求出它的最大值．

解答： 解：∵椭圆C：

x2

4

+y2=1，
∴焦点F₁（-

3

，0），F₂（

3

，0）；
设椭圆C的内接平行四边形为四边形ABCD，如图所示
直线AB的方程为y=k（x+

3

），直线CD的方程为y=k（x-

3

），
则由

x2 4 +y2=1 y=k(x+ 3 )

消去y，得（1+4k²）x²-8

3

k²x+4（3k²-1）=0；
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
∴x₁+x₂=

8 3 k2

1+4k2

，x₁x₂=

4(3k2-1)

1+4k2

；
∴|x₁-x₂|=

(x1+x2)2-4x1x2

=

4 1+k2

1+4k2

，
∴|AB|=

1+k2

|x₁-x₂|=

4(1+k2)

1+4k2

；
由平行线间的距离公式，得直线AB、CD的距离d=

2 3 |k|

1+k2

；
∴平行四边形ABCD的面积S=|AB|×d=8

3

•

k2(1+k2) (1+4k2)2

；
令t=

k2(1+k2)

(1+4k2)2

=

( 1 4 +k2)2+ 1 2 k2- 1 16

(1+4k2)2

=

1

16

+

1 2 k2- 1 16

(1+4k2)2

，
再令

1

2

k²-

1

16

=s，显然当k²＞

1

8

时，s＞0，t=

1

16

+

1 2 k2- 1 16

(1+4k2)2

＞

1

16

，此时可取到最大值；
∴t=

1

16

+

s

64s2+24s+ 9 4

=

1

16

+

1

24+(64s+ 9 4s )

≤

1

16

+

1

24+ 64s× 9 4s

=

1

12

；
∴平行四边形ABCD的面积S=8

3

•

t

≤8

3

×

1 12

=4，
当且仅当k=±

2

2

时，平行四边形ABCD的面积S取得最大值4．
故选：C．

点评：本题考查了求椭圆的内接平行四边形的面积问题，也考查了椭圆的简单几何性质、直线与圆锥曲线的位置关系以及基本不等式的应用问题，是综合题．