Question

已知函数f（x）=x²-2ax-3在x∈[2，4]上最大值为5，求a的值．

Answer 1

考点：二次函数在闭区间上的最值

专题：函数的性质及应用

分析：由题意得，函数f（x）的对称轴为：x=a，再分对称轴在区间的左侧、右侧、中间三种情况，分别根据函数在区间[2，4]上有最大值5，求出实数a的值．

解答： 解：由f（x）=（x-a）²-a²-3，得函数f（x）的对称轴为：x=a，
 ①当a＞4时，f（x）在[2，4]上递减，根据函数在区间[2，4]上有最大值5，可得f（2）=5，即a=-1，与a＞4矛盾；
②当a＜2时，f（x）在[2，4]上递增，根据函数在区间[2，4]上有最大值5，可得f（4）=5，解得a=1．
③当2≤a≤4时，f（x）在[2，a]递增，在[a，4]上递减，根据函数在[2，4]上有最大值5，可得f（a）=5，即-a²=8，无解．
综上，a=1．

点评：本题主要考查求二次函数在闭区间上的最值，二次函数的性质的应用，体现了分类讨论的数学思想．