Question

10．已知点A，B，C在圆O：x²+y²=2上运动，且AB⊥BC，若点P的坐标为（1，1），则|$\overrightarrow{PA}$+$\overrightarrow{PB}$+$\overrightarrow{PC}$|的取值范围是（　　）

• A． [0，4$\sqrt{2}$]
• B． [2，4]
• C． [2$\sqrt{2}$，4$\sqrt{2}$]
• D． [2$\sqrt{2}$，3$\sqrt{2}$]

Answer 1

分析 可作出图形，根据条件可知AC为圆O的直径，从而得到$\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{PB}+\overrightarrow{PC}=2\overrightarrow{PO}+\overrightarrow{PB}$，可设$B（\sqrt{2}cosθ，\sqrt{2}sinθ）$，从而可得到$\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{PB}+\overrightarrow{PC}=（\sqrt{2}cosθ-3，\sqrt{2}sinθ-3）$，这样即可得出$|\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{PB}+\overrightarrow{PC}|=\sqrt{20-12sin（θ+\frac{π}{4}）}$，而$-1≤sin（θ+\frac{π}{4}）≤1$，从而便可得出$|\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{PB}+\overrightarrow{PC}|$的取值范围．

解答 解：如图，
∵AB⊥BC，∴AC为圆O的直径；
∴$\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{PB}+\overrightarrow{PC}=2\overrightarrow{PO}+\overrightarrow{PB}$；
设$B（\sqrt{2}cosθ，\sqrt{2}sinθ）$，则$\overrightarrow{PB}=（\sqrt{2}cosθ-1，\sqrt{2}sinθ-1）$，$\overrightarrow{PO}=（-1，-1）$；
∴$\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{PB}+\overrightarrow{PC}=（\sqrt{2}cosθ-3，\sqrt{2}sinθ-3）$；
∴$|\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{PB}+\overrightarrow{PC}|$=$\sqrt{（\sqrt{2}cosθ-3）^{2}+（\sqrt{2}sinθ-3）^{2}}$=$\sqrt{20-12sin（θ+\frac{π}{4}）}$$∈[2\sqrt{2}，4\sqrt{2}]$．
故选：C．

点评 考查直径所对的圆周角为直角，向量加法的平行四边形法则，用三角函数表示圆上点的坐标的方法，根据点的坐标求向量的坐标，以及向量坐标的加法和数乘运算，能根据向量坐标求向量长度，正弦函数的值域．