Question

5．已知a²+b²≥t（a+b-2）对a＞1，b＞1恒成立，则t的最大值为4．

Answer 1

分析 利用基本不等式的性质即可得出．

解答 解：由a²+b²≥t（a+b-2）对a＞1，b＞1恒成立，
∴t≤$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}}{a+b-2}$恒成立，
即t≤$\frac{（a-1+1）^{2}+（b-1+1）^{2}}{（a-1）+（b-1）}$=$\frac{（a-1）^{2}+（b-1）^{2}+2（a-1+b-1）+2}{（a-1）+（b-1）}$，
令x=a-1，y=b-1，x＞0，y＞0，
∴t≤$\frac{{x}^{2}+{y}^{2}+2（x+y）+2}{x+y}$=$\frac{{x}^{2}+{y}^{2}}{x+y}$+$\frac{2}{x+y}$+2恒成立，
只需要t≤（$\frac{{x}^{2}+{y}^{2}}{x+y}$+$\frac{2}{x+y}$+2）_min，
∵x²+y²≥2xy，
∴2（x²+y²）≥2xy+x²+y²=（x+y）²，
∴$\frac{{x}^{2}+{y}^{2}}{x+y}≥\frac{x+y}{2}$
∴$\frac{{x}^{2}+{y}^{2}}{x+y}$+$\frac{2}{x+y}$+2≥$\frac{x+y}{2}$+$\frac{2}{x+y}$+2≥2$\sqrt{\frac{2}{x+y}•\frac{x+y}{2}}$+2=4，
∴t≤4，
∴t的最大值为4，
故答案为：4．

点评 本题考查了基本不等式的应用，关键是换元和灵活变换，属于难题．