Question

已知{a_n}为等差数列，且a₃=5，a₇=2a₄-1．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式及其前n项和S_n；
（Ⅱ）若数列{b_n}满足b₁+4b₂+9b₃+…+n²b_n=a_n，设数列{b_n}的前n项和为T_n，当n≥2时，证明T_n＜

5

2

．

Answer 1

考点：数列的求和,等差数列的性质

专题：等差数列与等比数列

分析：（Ⅰ）联立方程组求得首项及公差即可得出结论；
（Ⅱ））由题意得b1+4b2+9b3+…+n2bn=an①，b1+4b2+9b3+…+(n-1)2bn-1=an-1（n≥2）②
①-②得：n²b_n=a_n-a_n-1=2（n≥2），求得b_n，进而求得T_n，利用不等式放缩即可得证．

解答： 解：（1）设等差数列的首项和公差分别为a₁，d，则

a1+2d=5 a1+6d=2(a1+3d)-1

，解得

a1=1 d=2

…（2分）
∴a_n=a₁+（n-1）d=2n-1…（4分）
Sn=

n(a1+an)

2

=n2…（6分）
（2）解：∵b1+4b2+9b3+…+n2bn=an①
∴b1+4b2+9b3+…+(n-1)2bn-1=an-1（n≥2）②
①-②得：n²b_n=a_n-a_n-1=2（n≥2）
∴bn=

2

n2

，n≥2，又 b₁=a₁=1，∴bn=

1，n=1 2 n2 ，n≥2

．---------（9分）
∴当n≥2时，Tn=1+

2

22

+

2

32

+…+

2

n2

＜1+

1

2

+2[(

1

2

-

1

3

)+(

1

3

-

1

4

)+…+(

1

n-1

-

1

n

)]=1+

1

2

+2(

1

2

-

1

n

)=

5

2

…（12分）

点评：本题主要考查数列的基本运算、等差数列的性质、数列通项公式及数列求和的方法等知识，考查学生方程思想的运用及推理论证能力，属难题．