Question

如图，在四棱锥S-ABCD中，底面ABCD是直角梯形，AD垂直于AB和DC，侧棱SA⊥底面ABCD，且SA=2，AD=DC=1，点E在SD上，且AE⊥SD．
（1）证明：AE⊥平面SDC；
（2）求三棱锥B-ECD的体积．

Answer 1

考点：棱柱、棱锥、棱台的体积,直线与平面垂直的判定

专题：综合题,空间位置关系与距离

分析：（1）证明AE⊥平面SDC，只需证明AE⊥CD，利用证明CD⊥侧面SAD可得；
（2）证明CD⊥平面ASD，AB∥平面SCD，可得点B到平面SCD的距离等于点A到平面SCD的距离AE，即可求三棱锥B-ECD的体积．

解答： （1）证明：∵侧棱SA⊥底面ABCD，CD?底面ABCD，
∴SA⊥CD．…．（1分）
∵底面ABCD直角梯形，AD垂直于AB和DC，
∴AD⊥CD，
又AD∩SA=A，
∴CD⊥侧面SAD，…．（3分）
∵AE?侧面SAD
∴AE⊥CD，
∵AE⊥SD，CD∩SD=D，
∴AE⊥平面SDC…．（5分）
（Ⅱ）解：∵CD⊥AD，CD⊥AE，AD∩AE=A，
∴CD⊥平面ASD，
∴CD⊥SD，
∴S_△EDC=

1

2

ED•DC …（7分）
在Rt△ASD中，SA=2，AD=1，AE⊥SD，
∴ED=

1

5

，AE=

2

5

∴S_△EDC=1，…（9分）
又∵AB∥CD，CD?平面SCD，AB?平面SCD，
∴AB∥平面SCD，
∴点B到平面SCD的距离等于点A到平面SCD的距离AE                 …（11分）
∴V_B-ECD=

1

3

•S_△EDC•AE=

2 5

15

                                …（12分）

点评：本题考查线面垂直的判断与性质，考查三棱锥体积的计算，考查学生分析解决问题的能力．