Question

如图所示，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，侧棱PA垂直于底面，E、F分别是AB、PC的中点，PA=AD．求证：
（1）CD⊥PD；
（2）EF⊥平面PCD．

Answer 1

考点：直线与平面垂直的判定

专题：空间位置关系与距离

分析：（1）由线面垂直得CD⊥PA，由矩形性质得CD⊥AD，由此能证明CD⊥PD．
（2）取PD的中点G，连结AG，FG．由已知条件推导出四边形AEFG是平行四边形，所以AG∥EF．再由已知条件推导出EF⊥CD，由此能证明EF⊥平面PCD．

解答： （本题满分8分）
证明：（1）∵PA⊥底面ABCD，∴CD⊥PA．
又矩形ABCD中，CD⊥AD，且AD∩PA=A，
∴CD⊥平面PAD，∴CD⊥PD．（4分）
（2）取PD的中点G，连结AG，FG．
又∵G、F分别是PD、PC的中点，
∴GF平行且等于

1

2

CD，
∴GF平行且等于AE，
∴四边形AEFG是平行四边形，∴AG∥EF．
∵PA=AD，G是PD的中点，
∴AG⊥PD，∴EF⊥PD，
∵CD⊥平面PAD，AG?平面PAD．
∴CD⊥AG．∴EF⊥CD．
∵PD∩CD=D，∴EF⊥平面PCD．（8分）

点评：本题考查异面直线垂直的证明，考查直线垂直于平面的证明，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．