Question

已知⊙O₁和⊙O₂相交于A，B两点，过A点作⊙O₁的切线交⊙O₂于点E，连接EB并延长交⊙O₁于点C，直线CA交⊙O₂于点D．
（Ⅰ）如图，当点D与点A不重合时，证明：EA=ED；
（Ⅱ）当点D与点A重合时，若BC=2，CE=8，求⊙O₁的直径．

Answer 1

考点：与圆有关的比例线段

专题：立体几何

分析：（Ⅰ）连结AB，在EA延长线上取一点F，由弦切角定理得∠FAC=∠ABC，又∠ABC是⊙O₂内接四边形ABED外角，由此能证明EA=ED．
（Ⅱ）当D与A重合时，CA与⊙O₂只有一个公共点，由已知条件推导出AC、AE分别是⊙O₁，⊙O₂的直径，由此能求出⊙O₁的直径．

解答： （Ⅰ）证明：连结AB，在EA延长线上取一点F，
∵AE是⊙O₁的切线，∴∠FAC=∠ABC，
又∠ABC是⊙O₂内接四边形ABED外角，
∴∠ABC=∠ADE，∴DAE=∠ADE，
∴EA=ED．
（Ⅱ）当D与A重合时，CA与⊙O₂只有一个公共点，
∴CA与⊙O₂相切，∠FAC=∠ARC，∠DAE=∠ARE，
∵∠FAC=∠DAE，∴AC、AE分别是⊙O₁，⊙O₂的直径，
由AC²=CB•CE=2×8=16，
∴AC=4，即⊙O₁的直径为4．

点评：本题考查线段长的求法，考查圆的直径的求法，解题时要认真审题，注意弦切角定理的合理运用．