Question

已知函数f（x）=|x-3|
（1）解不等式f（x）＜

x+1

2

（2）若f（x）-f（x+2）≤a对一切实数恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：绝对值不等式的解法

专题：选作题,不等式

分析：（1）f（x）＜

x+1

2

可化为|x-3|＜

x+1

2

，两边平方可得3x²-26x+35＜0，即可得出结论；
（2）由绝对值的意义可得|x-3|-|x-1|的最大值等于2，故有2≤a，由此即可得到答案..

解答： 解：（1）f（x）＜

x+1

2

可化为|x-3|＜

x+1

2

两边平方可得3x²-26x+35＜0，
∴（3x-5）（x-7）＜0，
∴

5

3

＜x＜7，
∴解集为{x|

5

3

＜x＜7}；     
（2）f（x）-f（x+2）≤a对一切实数恒成立，即|x-3|-|x-1|≤a对一切实数恒成立，
由于|x-3|-|x-1|表示数轴上x的对应点到3对应点的距离减去它到1对应点的距离，
故它的最大值等于2，故有2≤a，
故实数a的取值范围是[2，+∞）．

点评：本题主要考查绝对值的意义，绝对值不等式的解法，函数的恒成立问题，属于中档题．