Question

已知（3x-1）ⁿ的展开式的奇数项二项式系数和是16，求（x

2

3

-3x²）ⁿ的展开式中：
（1）二项式系数最大的项；
（2）系数的绝对值最大的项．

Answer 1

考点：二项式系数的性质

专题：二项式定理

分析：（1）先由条件求得n=5，可得二项式系数最大的项为第三、四两项，利用通项公式求得这两项．
（2）设展开式中第r+1项系数的绝对值最大，则由T_r+1=（-3）^r•

C

r 5

•x

10+4r

3

，可得

3r •C r 5 ≥3r-1 •C r-1 5 3r •C r 5 ≥3r+1 •C r+1 5

，由此求得自然数r的值．

解答： 解：由题意可得 2^n-1=16，解得n=5．
（1）∵n=5，展开式共6项，二项式系数最大的项为第三、四两项，
∴T₃=

C

5

2•( x

2

3

)3•（3x²）²=90x⁶，T4=

C

3 5

(x

2

3

)2(-3x2)3=-270x

22

3

．
（2）设展开式中第r+1项系数的绝对值最大，
则T_r+1=（-3）^r•

C

r 5

•x

10+4r

3

，根据

3r •C r 5 ≥3r-1 •C r-1 5 3r •C r 5 ≥3r+1 •C r+1 5

 求得

7

2

≤r≤

9

2

，
求得r=4．
即展开式中第5项系数的绝对值最大，即T5=

C

4 5

(x

2

3

)(-3x2)4=405x

26

3

．

点评：本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，二项式系数的性质，属于中档题．