Question

已知函数y=log_a（x+3）+6（a＞0，a≠1）的图象恒过定点M，椭圆G：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左，右焦点分别为F₁，F₂，直线l经过点M且与⊙C：x²+y²+2x-6y+9=0相切．
（1）求直线l的方程；
（2）若直线l经过点F₂并与椭圆G在x轴上方的交点为P，且cos∠F₁PF₂=

7

25

，求△PF₁F₂内切圆的方程．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（1）函数y=log_a（x+3）+6（a＞0，a≠1）的图象恒过定点M（-2，6），⊙C的圆心为C（-1，3），半径r=1．对切线的斜率分类讨论，利用点到直线的距离公式与切线的性质即可得出．
（2）设∠F₁PF₂=α，∠F₁F₂P=β，则由cosα=

7

25

，得sinα=

24

25

．又由直线l的斜率为k=-

4

3

，可得sin∠PF₁F₂=

4

5

．有∠PF₁F₂=β，△F₁PF₂是等腰三角形，点P是椭圆的上顶点．易知P(0，

10

3

)． 于是△PF₁F₂内切圆的圆心D在线段PO上．设D（0，m），内切圆半径为r．则0＜m＜

10

3

，r=m．解出即可．

解答： 解：（1）函数y=log_a（x+3）+6（a＞0，a≠1）的图象恒过定点M（-2，6），
⊙C的圆心为C（-1，3），半径r=1．
①当l⊥x轴时，l的方程为x+2=0，易知l和⊙C相切．
②当l与x轴不垂直时，设l的方程为y-6=k（x+2），即kx-y+2k+6=0，
圆心C（-1，3）到l的距离为d=

|k+3|

k2+1

．
由l和⊙C相切，得

|k+3|

k2+1

=1，解得k=-

4

3

．
于是l的方程为4x+3y-10=0．
综上，得直线l的方程为x+2=0，或4x+3y-10=0． 
（2）设∠F₁PF₂=α，∠F₁F₂P=β，则由cosα=

7

25

，得sinα=

24

25

．
又由直线l的斜率为k=-

4

3

，得sinβ=

4

5

，cosβ=

3

5

． 
于是sin∠PF1F2=sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ=

24

25

×

3

5

+

7

25

×

4

5

=

4

5

．
有∠PF₁F₂=β，△F₁PF₂是等腰三角形，点P是椭圆的上顶点．
易知P(0，

10

3

)．  
于是△PF₁F₂内切圆的圆心D在线段PO上．
设D（0，m），内切圆半径为r．则0＜m＜

10

3

，r=m．
由点D到直线l的距离d=

|3m-10|

5

=r=m，解得m=

5

4

．  
故△PF₁F₂内切圆的方程为x2+(y-

5

4

)2=

25

16

．

点评：本题考查了椭圆与圆的标准方程及其性质、直线与圆相切问题、斜率计算公式、点到直线的距离公式、三角形的内切圆的性质，考查了推理能力与计算能力，属于难题．