Question

15．如图，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB=2，AD=DC=1，P是线段BC上一动点，Q是线段DC上一动点，$\overrightarrow{DQ}$=λ$\overrightarrow{DC}$，$\overrightarrow{CP}$=（1-λ）$\overrightarrow{CB}$，则$\overrightarrow{AP}$•$\overrightarrow{AQ}$的取值范围是（　　）

• A． （-∞，$\frac{9}{4}$]
• B． [0，2]
• C． [0，3]
• D． [0，$\frac{9}{4}$]

Answer 1

分析 建立如图所示平面直角坐标系，得到相应点及向量的坐标，把$\overrightarrow{AP}$•$\overrightarrow{AQ}$利用数量积运算转化为关于λ的函数求解．

解答 解：建立如图所示平面直角坐标系，
∵AB=2，AD=DC=1，
∴A（0，0），B（2，0），D（0，1），C（1，1），
∵$\overrightarrow{DQ}$=λ$\overrightarrow{DC}$，$\overrightarrow{CP}$=（1-λ）$\overrightarrow{CB}$，
∴$\overrightarrow{BP}=λ\overrightarrow{BC}$．
∴$\overrightarrow{AP}$•$\overrightarrow{AQ}$=（$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BP}$）•（$\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DQ}$）
=（$\overrightarrow{AB}+$$λ\overrightarrow{BC}$）•（$\overrightarrow{AD}+λ\overrightarrow{DC}$）
=$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AD}+λ\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{DC}+λ\overrightarrow{BC}•\overrightarrow{AD}+{λ}^{2}\overrightarrow{BC}•\overrightarrow{DC}$
=$λ\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{DC}+λ（\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}）•\overrightarrow{AD}$+${λ}^{2}（\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}）•\overrightarrow{DC}$
=$λ|\overrightarrow{AB}||\overrightarrow{DC}|cos0°+λ|\overrightarrow{AC}||\overrightarrow{AD}|cos45°$$+{λ}^{2}|\overrightarrow{AC}||\overrightarrow{DC}|cos45°$$-{λ}^{2}|\overrightarrow{AB}||\overrightarrow{DC}|cos0°$
=2λ+$\sqrt{2}×1×\frac{\sqrt{2}}{2}λ$$+\sqrt{2}×1×\frac{\sqrt{2}}{2}{λ}^{2}$-2λ²
=-λ²+3λ．
∵0≤λ≤1，∴$\overrightarrow{AP}$•$\overrightarrow{AQ}$=-λ²+3λ∈[0，2]．
故选：B．

点评 本题考查平面向量的数量积运算，考查数学转化思想方法，是中档题．