Question

已知直线l：xsinα-ycosα=1，其中α为常数且α∈[0，2π）．有以下结论：
①直线l的倾斜角为α；
②无论α为何值，直线l总与一定圆相切；
③若直线l与两坐标轴都相交，则与两坐标轴围成的三角形的面积不小于1；
④若P（x，y）是直线l上的任意一点，则x²+y²≥1．
其中正确结论的个数为（　　）

• A、1
• B、2
• C、3
• D、4

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用

专题：简易逻辑

分析：举例说明①错误；由点到直线的距离公式求得（0，0）到直线的距离判断②；求出三角形面积公式，结合三角函数的有界性判断③；由②说明④正确．

解答： 解：直线l：xsinα-ycosα=1，当α=

3π

2

时，直线方程为：x=-1，直线的倾斜角为

π

2

，命题①错误；
∵坐标原点O（0，0）到直线xsinα-ycosα=1的距离为

|-1|

sin2α+(-cosα)2

=1，
∴无论α为何值，直线l总与一定圆x²+y²=1相切，命题②正确；
当直线和两坐标轴都相交时，它和坐标轴围成的三角形的面积S=

1

2

|

1

sinαcosα

|=

1

|sin2α|

≥1，故③正确；
∵无论α为何值，直线l总与一定圆x²+y²=1相切，∴④正确．
∴正确的命题是3个．
故选：C．

点评：本题考查了命题的真假判断与应用，考查了直线的倾斜角，点与直线的关系，直线与圆的位置关系，三角函数的值域等，是中档题．