Question

15．已知二次函数f（x）=x²-2mx+1．
（1）指出函数图象的开口方向，对称轴方程
（2）若f（x）为偶函数，求m的值．
（3）若f（x）在（-∞，1]上单调递减，求实数m的取值范围．
（4）求函数f（x）在区间[-1，1]上的最小值．

Answer 1

分析 （1）．根据二次函数性质可知，其开口向上，对称轴可由$x=-\frac{b}{2a}$求得；
（2）．根据偶函数定义，可由f_（x）=f_（-x）求出m值；
（3）．根据二次函数图象及性质，可知原函数开口向上，只要对称轴不在1的左边就可满足题意要求；
（4）．因为函数解析式含有待定系数m，所以需要讨论对称轴的位置，用以确定何时取得最小值．当对称轴位于-1左边时，在[-1，1]上为增函数，x=-1时f取得最小值；当对称轴位于[-1，1]之间时，对称轴位置取得最小值；当对称轴位于1的右边时，函数在[-1，1]上为减函数，x=1时取得最小值．

解答 解：（1）二次函数${f}_{（x）}={x}^{2}-2mx+1$中，a=1，b=-2m，
所以其开口向上，对称轴为$x=-\frac{b}{2a}=-\frac{-2m}{2×1}=m$；
（2）若f（x）为偶函数，则f（x）=f（-x），
即x²-2mx+1=（-x）²-2m（-x）+1，得m=0；
（3）若f_（x）在（-∞，1]上单调递减，由于其开口向上，
∴需满足对称轴$x=-\frac{b}{2a}=-\frac{-2m}{2×1}=m≥1$；
（4）函数f_（x）的对称轴为x=m，其在[-1，1]的单调性不确定，所以讨论如下：
a．当对称轴x=m≤-1时，函数在[-1，1]上单调递增，当x=-1时有最小值${f}_{（-1）}=（-1）^{2}-2m×（-1）+1=2+2m$；
b．当对称轴x=m位于[-1，1]时，函数在对称轴位置取得最小值，即${f}_{（m）}={m}^{2}-2m×m+1=1-{m}^{2}$；
c．当对称轴x=m≥1时，函数在[-1，1]上单调递减，当x=1时有最小值${f}_{（1）}={1}^{2}-2m×1+1=2-2m$

点评 本题主要考查二次函数的性质及单调性的应用，再有求二次函数最值时应注意函数在区间内是否单调，在有待定系数的情况下一般要根据待定系数的情况进行讨论．