Question

1．已知平面向量$\overrightarrow{OA}$、$\overrightarrow{OB}$、$\overrightarrow{OC}$满足$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}=0$，且$|{\overrightarrow{OA}}|=|{\overrightarrow{OC}}|=1$，$|{\overrightarrow{OB}}|=\sqrt{3}$，则$\overrightarrow{CA}•\overrightarrow{CB}$的最大值是3．

Answer 1

分析 建立平面直角坐标系，设出A，B，C坐标，表示出$\overrightarrow{CA}，\overrightarrow{CB}$的坐标，得出数量积的表达式，求出最值．

解答 解：∵$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}=0$，∴$\overrightarrow{OA}⊥\overrightarrow{OB}$，设A（1，0），B（0，$\sqrt{3}$），C（cosθ，sinθ），
∴$\overrightarrow{CA}$=（1-cosθ，-sinθ），$\overrightarrow{CB}$=（-cosθ，$\sqrt{3}$-sinθ），
∴$\overrightarrow{CA}•\overrightarrow{CB}$=-（1-cosθ）cosθ-sinθ（$\sqrt{3}$-sinθ）=sin²θ+cos²θ-cosθ-$\sqrt{3}$sinθ=1-2sin（θ+$\frac{π}{6}$）．
∴当sin（θ+$\frac{π}{6}$）=-1时，$\overrightarrow{CA}•\overrightarrow{CB}$取得最大值3．
故答案为：3．

点评 本题考查了平面向量的数量积运算，使用坐标法可使计算简单．