Question

已知椭圆C的右焦点为F₂（2，0），实轴的长为4

2

．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）过点F₁（-2，0）作两条互相垂直的直线分别交椭圆C于点A，B和D，E，求|AB|+|DE|的最小值．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（1）由题可知：椭圆的焦点在x轴上，其标准方程可设为：

x2

a2

+

y2

b2

=1，由已知得实轴的长为2a=4

2

，由此能求出椭圆的标准方程．
（2）当AB或DE所在的直线斜率为零时，另一条直线的斜率不存在，此时|AB|+|DE|=2

2

+4

2

=6

2

；当AB与DE所在的直线斜率都存在，而且不为零时，设AB所在直线的斜率为k，则DE所在的直线斜率为-

1

k

．则AB所在直线方程为：y=k（x+2）．联立

y=k(x+2) x2 8 + y2 4 =1

得（2k²+1）x²+8k²x+8k²-8=0．由此利用韦达定理、弦长公式、二次函数的性质，结合已知条件能求出当k=±1时，|AB|+|DE|取得最小值

16 2

3

．

解答： 解：（1）由题可知：椭圆的焦点在x轴上，其标准方程可设为：

x2

a2

+

y2

b2

=1
又实轴的长为2a=4

2

，则a=2

2

，a²=8；c²=a²-b²=2²=4，故b²=4．
故椭圆的标准方程为：

x2

8

+

y2

4

=1…（4分）
（2）由题可知：
1°当AB或DE所在的直线斜率为零时，另一条直线的斜率不存在，此时|AB|+|DE|=2

2

+4

2

=6

2

…（6分）
2°当AB与DE所在的直线斜率都存在，而且不为零时，设AB所在直线的斜率为k，则DE所在的直线斜率为-

1

k

．
则AB所在直线方程为：y=k（x+2）．
联立

y=k(x+2) x2 8 + y2 4 =1

得：x²+2k²（x+2）²-8=0，即（2k²+1）x²+8k²x+8k²-8=0．
设A，B两点的横坐标分别为x₁，x₂则由韦达定理可得：x1+x2=-

8k2

2k2+1

；x1x2

8k2-8

2k2+1

…（8分）
则|AB|=

k2+1

|x1-x2|=

k2+1

(x1+x2)2-4x1x2

=

k2+1

( 8k2 2k2+1 )2-4× 8k2-8 2k2+1

=

k2+1

32(k2+1) (2k2+1)2

=4

2

×

k2+1

2k2+1

以-

1

k

代换上式中的k可得：|DE|=4

2

×

(- 1 k )2+1

2(- 1 k )2+1

=4

2

×

1+k2

2+k2

…（10分）

则|AB|+|DE|=4

2

×

k2+1

2k2+1

+4

2

×

1+k2

2+k2

=4

2

(k2+1)(

1

2k2+1

+

1

2+k2

)
=4

2

(k2+1)

3(k2+1)

(2k2+1)(2+k2)

=

12 2

( 2k2+1 k2+1 )( 2+k2 k2+1 )

=

12 2

(2- 1 k2+1 )(1+ 1 k2+1 )

令t=

1

k2+1

，则t∈（0，1]．此时f(t)=(2-

1

k2+1

)(1+

1

k2+1

)=(2-t)(1+t)=-t2+t+2，t∈(0，1]．
由二次函数的性质可得：f(t)min=f(1)=2，f(t)max=f(

1

2

)=

9

4

．故(|AB|+|DE|)min=

12 2

9 4

=

16 2

3

．
此时t=

1

2

，即k²=1，k=±1．
综上可知：当k=±1时|AB|+|DE|取得最小值，最小值为

16 2

3

．…（13分）

点评：本题考查椭圆的标准方程的求法，考查线段和的最小值的求法，解题时要认真审题，注意函数与方程思想的合理运用．