Question

（Ⅰ） 如图，一个扇形OAB的面积是1cm²，它的周长是4cm，求圆心角的弧度数和弦长AB．
（Ⅱ） 已知f（x）=-sin²x+sinx+a，若1≤f（x）≤

17

4

对一切x∈R恒成立，求实数a的范围．

Answer 1

考点：复合三角函数的单调性,扇形面积公式

专题：三角函数的求值

分析：（Ⅰ） 设圆的半径为rcm，弧长为lcm，则

1 2 lr=1 l+2r=4

，解得

r=1 l=2

，然后，求解圆心角和弧长；
（Ⅱ）f（x）=-sin²x+sinx+a=-（sinx-

1

2

）²+a+

1

4

，然后，结合给定的范围求解实数a的范围．

解答： 解：（Ⅰ） 设圆的半径为rcm，弧长为lcm，则

1 2 lr=1 l+2r=4

，
∴

r=1 l=2

，
∴圆心角为

l

r

=2，
过点O作OH⊥AB于H，则∠AOH=1弧度，
∴AH=1•sin1=sin1（cm），
∴AB=2sin1（cm），
（Ⅱ）f（x）=-sin²x+sinx+a
=-（sinx-

1

2

）²+a+

1

4

，
∴f（x）man=a+

1

4

，f（x）min=a-2，
若1≤f（x）≤

17

4

对一切x∈R恒成立，则

a-2≥1 a+ 1 4 ≤ 17 4

，
∴3≤a≤4．

点评：本题重点考查了弧长公式、圆心角公式、二次函数的最值等知识，属于中档题，解题关键是灵活运用公式进行求解问题．