Question

1．已知A₁、A₂分别是椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的左、右顶点，点P为椭圆C上一点（与A₁、A₂不重合），若直线PA₁与PA₂的斜率乘积是-$\frac{3}{4}$，则椭圆C的离心率为（　　）

• A． $\frac{1}{4}$
• B． $\sqrt{3}$
• C． $\frac{\sqrt{3}}{2}$
• D． $\frac{1}{2}$

Answer 1

分析 由题意可得A，B的坐标，设出P的坐标，由P在椭圆上得到关于P的坐标的方程，再由直线PA₁与PA₂的斜率乘积是-$\frac{3}{4}$得关于P的坐标的另一方程，联立可得a，b的关系，进一步求出椭圆C的离心率．

解答 解：由已知得：A₁（-a，0），A₂（a，0），设P（x₀，y₀），
由点P为椭圆C上一点可得${{y}_{0}}^{2}=\frac{{a}^{2}-{{x}_{0}}^{2}}{{a}^{2}}•{b}^{2}$，①
∵直线PA₁与PA₂的斜率乘积是-$\frac{3}{4}$，∴$\frac{{{y}_{0}}^{2}}{{{x}_{0}}^{2}-{a}^{2}}=-\frac{3}{4}$，②
联立①②得：$\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}=\frac{3}{4}$，∴$\frac{{a}^{2}-{c}^{2}}{{a}^{2}}=\frac{3}{4}$，得$\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}=\frac{1}{4}$，
∴e=$\frac{c}{a}=\frac{1}{2}$．
故选：D．

点评 本题考查椭圆的简单性质，考查了椭圆离心率的求法，是中档题．