Question

11．已知点P（1，1），过点P动直线l与圆C：x²+y²-2y-4=0交与点A，B两点．
（1）若|AB|=$\sqrt{17}$，求直线l的倾斜角；
（2求线段AB中点M的轨迹方程．

Answer 1

分析 （1）利用点斜式，设出过P点的直线l，利用与圆的弦长为$\sqrt{17}$，求出k的值，可得直线l的倾斜角；
（2）设M的坐标（x，y），由垂径定理可知∠PMC=90°，故点M的轨迹是以CP为直径的圆．可得方程．

解答 解：（1）由题意：圆C：x²+y²-2y-4=0，
化为圆的标准方程x²+（y-1）²=5，圆心C（0，1），r=$\sqrt{5}$．
∵又|AB|=$\sqrt{17}$
当动直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x=1时，显然不满足题意；
当动直线l的斜率存在时，设动直线l的方程为：y-1=k（x-1）即kx-y+1-k=0
故弦心距d=$\sqrt{{r}^{2}-（\frac{\sqrt{17}}{2}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
再由点到直线的距离公式可得d=$\frac{|k|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
解得：k=$±\sqrt{3}$．
 即直线l的斜率等于±$\sqrt{3}$，
根据tanθ=k，
故得直线l的倾斜角等于$\frac{π}{3}$或$\frac{2π}{3}$．
（2）由题意：线段AB中点为M，设M的坐标（x，y），
由垂径定理可知∠PMC=90°，故点M的轨迹是以CP为直径的圆，
又∵点C（0，1），P（1，1）
故M的轨迹方程为$（x-\frac{1}{2}）^{2}+（y-1）^{2}=\frac{1}{4}$．

点评 本题主要考查直线和圆的位置关系的判断，根据直线和圆相交的弦长公式是解决本题的关键．