Question

11．在数列{a_n}中，a₁=1，3a_na_n-1+a_n-a_n-1=0（n≥2）．数列{b_n}满足b_n=a_n•a_n+1，T_n为数列{b_n}的前n项和．
（1）证明：数列{$\frac{1}{{a}_{n}}$}是等差数列；
（2）若对任意的n∈N^*，不等式λT_n＜n+12•（-1）ⁿ恒成立，求实数λ的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由3a_na_n-1+a_n-a_n-1=0（n≥2），两边同除以a_na_n-1，整理得$\frac{1}{{a}_{n}}$-$\frac{1}{{a}_{n-1}}$=3（n≥2）．$\frac{1}{{a}_{1}}$=1，数列{$\frac{1}{{a}_{n}}$}是首项为1，公差为3的等差数列；
（2）由（1）得$\frac{1}{{a}_{n}}$=1+（n-1）×3=3n-2，求得a_n=$\frac{1}{3n-2}$，则b_n=a_n•a_n+1=$\frac{1}{（3n-2）（3n+1）}$=$\frac{1}{3}$（$\frac{1}{3n-2}$-$\frac{1}{3n+1}$），“裂项法”即可求得数列{b_n}的前n项和T_n，则λ＜3n+$\frac{12（-1）^{n}}{n}$+36（-1）ⁿ+1，分类根据基本不等式，即可求得实数λ的取值范围．

解答 解：（1）证明：∵数列{a_n}中，a₁=1，3a_na_n-1+a_n-a_n-1=0（n≥2）．
整理得：$\frac{1}{{a}_{n}}$-$\frac{1}{{a}_{n-1}}$=3（n≥2）．
又$\frac{1}{{a}_{1}}$=1，
∴数列{$\frac{1}{{a}_{n}}$}是首项为1，公差为3的等差数列；
（2）由（1）得$\frac{1}{{a}_{n}}$=1+（n-1）×3=3n-2，
∴a_n=$\frac{1}{3n-2}$，
b_n=a_n•a_n+1=$\frac{1}{（3n-2）（3n+1）}$=$\frac{1}{3}$（$\frac{1}{3n-2}$-$\frac{1}{3n+1}$），
数列{b_n}的前n项和T_n，T_n=b_n+b_n+b_n+…+b_n，
=$\frac{1}{3}$[（1-$\frac{1}{4}$）+（$\frac{1}{4}$-$\frac{1}{7}$）+（$\frac{1}{7}$-$\frac{1}{10}$）+…+（$\frac{1}{3n-2}$-$\frac{1}{3n+1}$）]，
=$\frac{1}{3}$（1-$\frac{1}{4}$+$\frac{1}{4}$-$\frac{1}{7}$+$\frac{1}{7}$-$\frac{1}{10}$+…+$\frac{1}{3n-2}$-$\frac{1}{3n+1}$），
=$\frac{1}{3}$（1-$\frac{1}{3n+1}$）
=$\frac{n}{3n+1}$，
λT_n＜n+12•（-1）ⁿ恒成立，
∴λ＜3n+$\frac{12（-1）^{n}}{n}$+36（-1）ⁿ+1，
当n为偶数时，
λ＜3n+$\frac{12}{n}$+37≤2$\sqrt{3n×\frac{12}{n}}$+37=49，（当且仅当3n=$\frac{12}{n}$，即n=2时取“=”），
当n为奇数时，
λ＜3n-$\frac{12}{n}$-35，
由函数的单调性可知：3n-$\frac{12}{n}$-35＞-45，
即当n=1时取最小值，
综上可知：实数λ的取值范围λ＜49．

点评 本题考查等差数列的性质，等差数列的证明，考查“裂项法”求数列的前n项和，考查分类讨论思想，考查计算能力，属于中档题．