Question

如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为平面四边形，∠ABC=60°，BC=2AB，PA⊥底面ABCD．
（1）证明：PB⊥AC；
（2）设PA=AB=1，求棱锥A-PBC的高．

Answer 1

考点：棱柱、棱锥、棱台的体积

专题：综合题,空间位置关系与距离

分析：（1）证明PA⊥底面ABCD，可得PA⊥AC，结合AB⊥AC，即可证明AC⊥平面PAB，从而可得PB⊥AC；
（2）利用V_A-PBC=V_P-ABC，即可求棱锥A-PBC的高．

解答： （1）证明：∵∠ABC=60°，BC=2AB，
∴由余弦定理得AC=

3

AB，
∴AC²+AB²=BC²，
∴AB⊥AC，
∵PA⊥底面ABCD，
∴PA⊥AC，
∴AC⊥平面PAB，
∴PB⊥AC；
（2）解：如图，PB=

PA2+AB2

=

2

，
∴PC=

PA2+AC2

=2，BC=

AB2+AC2

=2，
设棱锥A-PBC的高为h，则V_A-PBC=V_P-ABC，
∴

1

3

S△PBC•h=

1

3

S△ABC•PA，
∵S△PBC=

7

2

，S△ABC=

3

2

，
∴

7

2

h=

3

2

，
∴h=

21

7

．

点评：本题考查线面垂直，考查锥体的体积公式，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．