Question

4．已知函数$f（x）=\frac{a}{x}+（{1-a}）x$（其中a为非零实数），且方程$xf（{\frac{1}{x}}）=4x-3$有且仅有一个实数根．
（Ⅰ）求实数a的值；
（Ⅱ）证明：函数f（x）在区间（0，+∞）上单调递减．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据二次函数的性质得到△=0，求出a的值即可；（Ⅱ）根据函数单调性的定义证明函数的单调性即可．

解答 解：（Ⅰ）由$xf（{\frac{1}{x}}）=4x-3$，得$x（{ax+\frac{1-a}{x}}）=4x-3$，
又a≠0，即二次方程ax²-4x+4-a=0有且仅有一个实数根（且该实数根非零），
所以△=（-4）²-4a（4-a）=0，
解得a=2（此时实数根非零）．   
（Ⅱ）由（Ⅰ）得：函数解析式$f（x）=\frac{2}{x}-x$，
任取0＜x₁＜x₂，
则f（x₁）-f（x₂）
=$\frac{{2（{x_2}-{x_1}）}}{{{x_1}{x_2}}}+（{x_2}-{x_1}）$
=$（{x_2}-{x_1}）•\frac{{（{2+{x_1}{x_2}}）}}{{{x_1}{x_2}}}$，
∵0＜x₁＜x₂，∴x₂-x₁＞0，2+x₁x₂＞0，x₁x₂＞0，
∴f（x₁）-f（x₂）＞0，即f（x₁）＞f（x₂），
∴函数f（x）在区间（0，+∞）上单调递减．

点评 本题考查了函数的单调性的证明，考查二次函数的性质，是一道中档题．