题目内容
在△ABC中，角A、B、C所对应的边分别为a、b、c，且cosC=
+
．
（I）求sinA；
（Ⅱ）若a=8
，b=10，求
在
上的投影．
| b |
| a |
| 3c |
| 5a |
（I）求sinA；
（Ⅱ）若a=8
| 2 |
| BA |
| BC |
考点：平面向量数量积的运算,正弦定理,余弦定理
专题：平面向量及应用
分析：（I）在△ABC中，由cosC=
+
，利用正弦定理可得cosC=
+
，化简可得sinC（5cosA+3）=0，故有cosA=-
，从而求得sinA的值．
（Ⅱ）根据a=8
，b=10，cosC=
+
，由余弦定理求得c=2．再由正弦定理求得sinB=
的值，可得cosB的值，从而求得
在
上的投影 c•cosB 的值．
| b |
| a |
| 3c |
| 5a |
| sinB |
| sinA |
| 3sinC |
| 5sinA |
| 3 |
| 5 |
（Ⅱ）根据a=8
| 2 |
| b |
| a |
| 3c |
| 5a |
| bsinA |
| a |
| BA |
| BC |
解答：
解：（I）在△ABC中，∵cosC=
+
，∴cosC=
+
，
化简可得 5sinAcosC=5sinB+3sinC，即 5sinAcosC=5sin（A+C）+3sinC，
即5sinAcosC=5sinAcosC+5cosAsinC+3sinC，
∴sinC（5cosA+3）=0，即 5cosA+3=0，
∴cosA=-
，sinA=
．
（Ⅱ）∵a=8
，b=10，cosC=
+
，由余弦定理可得
=
+
，
解得：c=2．
再由正弦定理可得
=
，
∴sinB=
=
，
∴cosB=
．
故
在
上的投影为c•cosB=2×
=
．
| b |
| a |
| 3c |
| 5a |
| sinB |
| sinA |
| 3sinC |
| 5sinA |
化简可得 5sinAcosC=5sinB+3sinC，即 5sinAcosC=5sin（A+C）+3sinC，
即5sinAcosC=5sinAcosC+5cosAsinC+3sinC，
∴sinC（5cosA+3）=0，即 5cosA+3=0，
∴cosA=-
| 3 |
| 5 |
| 4 |
| 5 |
（Ⅱ）∵a=8
| 2 |
| b |
| a |
| 3c |
| 5a |
| a2+b2-c2 |
| 2ab |
| b |
| a |
| 3c |
| 5a |
解得：c=2．
再由正弦定理可得
| b |
| sinB |
| a |
| sinA |
∴sinB=
| bsinA |
| a |
| ||
| 2 |
∴cosB=
| ||
| 2 |
故
| BA |
| BC |
| ||
| 2 |
| 2 |
点评：本题主要考查正弦定理、余弦定理、三角恒等变换，一个向量在另一个向量上的投影的定义和求法，属于中档题．
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