Question

若x，y满足

x+y≥2 2x-y≤4 x-y≥0

（1）求z=|x-2y-2|的最大值；
（2）求z=x²+y²的最值．

Answer 1

考点：简单线性规划

专题：不等式的解法及应用

分析：（1）作出平面区域，设x-2y-2=m，利用数形结合先求出m的取值范围，即可求z=|x-2y-2|的最大值；
（2）利用z=x²+y²的几何应用，即可得到结论．

解答： 解：（1）作出不等式组对应的平面区域如图：
设x-2y-2=m，
则y=

1

2

x-

1

2

(2+m)，
平移直线y=

1

2

x-

1

2

(2+m)，由图象可知当直线y=

1

2

x-

1

2

(2+m)经过点B（2，0）时，
直线y=

1

2

x-

1

2

(2+m)的截距最小，此时m最大为m=2-2=0，
当y=

1

2

x-

1

2

(2+m)经过A时，y=

1

2

x-

1

2

(2+m)的截距最大，此时m最小．
由

2x-y=4 x-y=0

解得

x=4 y=4

，即A（4，4），
此时m=4-2×4-2=-6，
∴-6≤m≤2，
即z=|m|∈[0，6]，
即z=|x-2y-2|的最大值是6；
（2）z=x²+y²的几何意义是区域内的点到原点距离的平方，
由图象可知当点位于C点时，z值最小，
由

x-y=0 x+y=2

，解得

x=1 y=1

，
即C（1，1），此时z=1²+1²=2，
由图象可知当点位于点A（4，4）时，z值最大，
此时z=4²+4²=32．

点评：本题主要考查线性规划的应用，利用z的几何意义，结合数形结合是解决本题的关键．