Question

已知f（x）=|x+1|+|x-2|
（Ⅰ）求f（x）＞5的解集；
（Ⅱ）若关于x的不等式f（x）＜m有解，求实数m的取值范围．

Answer 1

考点：绝对值不等式的解法

专题：不等式的解法及应用

分析：（Ⅰ）通过对x取值范围的讨论，去掉绝对值符号，解相应的一次不等式，最后取并集即可求得不等式f（x）＞5的解集；
（Ⅱ）利用绝对值不等式的几何意义，可得f（x）_min=3，从而可解得实数m的取值范围．

解答： 解：（Ⅰ）∵|x+1|+|x-2|＞5，
∴

x≥2 x+1+x-2＞5

或

-1≤x≤2 x+1-x+2＞5

或

x＜-1 -x-1-x+2＞5

，
解得x＜-2或x＞3，
∴f（x）＞5的解集为{x|x＜-2或x＞3}…5分；
（Ⅱ）∵当x∈R时，恒有|x+1|+|x-2|≥|（x+1）-（x-2）|=3，且不等式|x+1|+|x-2|＜m有解，
∴m＞3，
故实数m的取值范围是（3，+∞）…10分

点评：本题考查绝对值不等式的解法，对x取值范围分类讨论，去掉绝对值符号是解不等式的关键，考查绝对值不等式的几何意义及应用，属于中档题．