Question

如图1，在平面内，ABCD是AB=2，BC=

2

的矩形，△PAB是正三角形，将△PAB沿AB折起，使PC⊥BD，如图2，E为AB的中点，设直线l过点C且垂直于矩形ABCD所在平面，点F是直线l上的一个动点，且与点P位于平面ABCD的同侧．

（1）求证：PE⊥平面ABCD；
（2）设二面角F-PB-D的大小为θ，若θ=

π

4

，求线段CF的长．

Answer 1

考点：二面角的平面角及求法,直线与平面垂直的判定

专题：空间位置关系与距离,空间角

分析：（1）连接EC，由已知推导出△EBC∽△BCD，从而BD⊥CE，BD⊥PE，由此能证明PE⊥平面ABCD．
（2）设CF=t，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出CF=8

3

+10

2

．

解答： （1）证明：连接EC，∵

BE

BC

=

1

2

=

2

2

=

BC

CD

，
∠EBC=∠BCD=90°，
∴△EBC∽△BCD，∴∠ECB=∠BDC，∴BD⊥CE，
又∵PC⊥BE，PC∩CE=C，
∴BD⊥平面PEC，∴BD⊥PE，
在正△PAB中，∵E是AB的中点，
∴PE⊥AB，又∵AB∩BD=B，∴PE⊥平面ABCD．
（2）解：设CF=t，建立空间直角坐标系，如图，
则P（0，0，

3

），B（1，0，0），D（-1，

2

，0），F（1，

2

，t），

BD

=(-2，

2

，0)，

BP

=(-1，0，

3

)，

BF

=(0，

2

，t)，
设平面PBD的一个法向量为

n

=（x，y，z），
则

n • BP =-x+ 3 z=0 n • BD =-2x+ 2 y=0

，取z=1，得

n

=（

3

，

6

，1），
设平面FPB的一个法向量为

m

=(a，b，c)，
则

m • BP =-a+ 3 c=0 m • BF = 2 a+tz=0

，取z=1，得

m

=(

3

，-

t

2

，1)，
cosθ=|cos＜

m

，

n

＞|=

|4- 3 t|

10 • 4+ t2 2

，
∴

|4- 3 t|

10 4+ t2 2

=

2

2

，
解得t=CF=8

3

+10

2

．

点评：本题考查直线与平面垂直的证明，考查线段长的求法，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．