Question

16．甲、乙两地相距1000km，货车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过80km/h，已知货车每小时的运输成本（单位：元）由可变成本和固定成本组成，可变成本是速度平方的$\frac{1}{4}$倍，固定成本为a元；
（Ⅰ）将全程运输成本y（元）表示为速度v（km/h）的函数，并指出这个函数的定义域；
（Ⅱ）若a=400，为了使全程运输成本最小，货车应以多大的速度行驶？

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出汽车从甲地匀速行驶到乙地所用时间，根据货车每小时的运输成本（以元为单位）由可变部分和固定部分组成，可得全程运输成本，及函数的定义域；
（Ⅱ）利用基本不等式可得结论．

解答 解：（Ⅰ）可变成本为$\frac{1}{4}{v^2}$，固定成本为a元，所用时间为$\frac{1000}{v}$，
∴$y=\frac{1000}{v}（{\frac{1}{4}{v^2}+a}）$，即$y=1000（{\frac{1}{4}v+\frac{a}{v}}）$．
定义域为（0，80]；
（Ⅱ）$y=1000（{\frac{v}{4}+\frac{400}{v}}）≥1000•2\sqrt{100}=20000$，
当且仅当$\frac{v}{4}=\frac{400}{v}$，即v=40时等号成立，
∴当v=40时，y_min=20000
答：当火车以40km/h的速度行驶，全程运输成本最小．

点评 本题考查函数模型的构建，考查基本不等式的运用，解题的关键是构建函数模型，利用基本不等式求最值．