Question

5．已知动点P（x，y）满足方程xy=1（x＞0）．
（Ⅰ）求动点P到直线l：x+2y-$\sqrt{2}$=0距离的最小值；
（Ⅱ）设定点A（a，a），若点P，A之间的最短距离为2$\sqrt{2}$，求满足条件的实数a的取值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由点到直线的距离公式与基本不等式的性质即可得出．
（Ⅱ）设点$P（x，\frac{1}{x}）$（x＞0），则$d=\sqrt{{{（x-a）}^2}+{{（\frac{1}{x}-a）}^2}}=\sqrt{（{x^2}+\frac{1}{x^2}）-2a（x+\frac{1}{x}）+2{a^2}}$，设$x+\frac{1}{x}=t$（t≥2），则${x^2}+\frac{1}{x^2}={t^2}-2$$d=\sqrt{{{（t-a）}^2}+{a^2}-2}$，设f（t）=（t-a）²+a²-2（t≥2），对a与2的大小关系分类讨论即可得出．

解答 解：（Ⅰ）由点到直线的距离公式可得：$d=\frac{{|x+2y-\sqrt{2}|}}{{\sqrt{5}}}=\frac{{|x+\frac{2}{x}-\sqrt{2}|}}{{\sqrt{5}}}≥\frac{{\sqrt{10}}}{5}$，
当且仅当$x=\sqrt{2}$时距离取得最小值$\frac{{\sqrt{10}}}{5}$．
（Ⅱ）设点$P（x，\frac{1}{x}）$（x＞0），则$d=\sqrt{{{（x-a）}^2}+{{（\frac{1}{x}-a）}^2}}=\sqrt{（{x^2}+\frac{1}{x^2}）-2a（x+\frac{1}{x}）+2{a^2}}$，
设$x+\frac{1}{x}=t$（t≥2），则${x^2}+\frac{1}{x^2}={t^2}-2$，$d=\sqrt{{{（t-a）}^2}+{a^2}-2}$，设f（t）=（t-a）²+a²-2（t≥2）
对称轴为t=a
分两种情况：
（1）a≤2时，f（t）在区间[2，+∞）上是单调增函数，故t=2时，f（t）取最小值
∴${d_{min}}=\sqrt{{{（2-a）}^2}+{a^2}-2}=2\sqrt{2}$，∴a²-2a-3=0，∴a=-1（a=3舍）．
（2）a＞2时，∵f（t）在区间[2，a]上是单调减，在区间[a，+∞）上是单调增，
∴t=a时，f（t）取最小值，
∴${d_{min}}=\sqrt{{{（a-a）}^2}+{a^2}-2}=2\sqrt{2}$，∴$a=\sqrt{10}$（$a=-\sqrt{10}$（舍），
综上所述，a=-1或$\sqrt{10}$．

点评 本题考查了函数的性质、两点之间的距离公式、点到直线的距离公式，考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力，属于中档题．