Question

14．已知函数f（x）=|x+1-2a|+|x-a²|，g（x）=x²-2x-4+$\frac{4}{（x-1）^{2}}$
（Ⅰ）若f（2a²-1）＞4|a-1|，求实数a的取值范围；
（Ⅱ）若存在实数x，y，使f（x）+g（y）≤0，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）若f（2a²-1）＞4|a-1|，则|2a²-2a|+|a²-1|＞4|a-1|，即2|a|+|a+1|＞4，分类讨论，即可求实数a的取值范围；
（Ⅱ）若存在实数x，y，使f（x）+g（y）≤0，则f（x）≤-g（y），即可求实数a的取值范围．

解答 解：（Ⅰ）若f（2a²-1）＞4|a-1|，则|2a²-2a|+|a²-1|＞4|a-1|，
∴2|a|+|a+1|＞4，
a＜-1，则-2a-a-1＞4，∴a＜-$\frac{5}{3}$，∴a＜-$\frac{5}{3}$；
-1≤a≤0，则-2a+a+1＞4，∴a＜-3，不成立；
a＞0，则2a+a+1＞4，∴a＞1，
综上所述，a＜-$\frac{5}{3}$或a＞1；
（Ⅱ）f（x）=|x+1-2a|+|x-a²|≥|1-2a+a²|，g（x）=x²-2x-4+$\frac{4}{（x-1）^{2}}$=（x-1）²+$\frac{4}{（x-1）^{2}}$-5≥-1
若存在实数x，y，使f（x）+g（y）≤0，则|1-2a+a²|≤1，∴0≤a≤2．

点评 本题主要考查绝对值的含义、不等式的解法，函数的最值等基础知识，考查运算求解能力以及推理论证能力，考查函数与方程思想以及分类与整合思想．