Question

5．已知椭圆C的两个焦点坐标分别是（-2，0），（2，0），并且经过$P（{2，\frac{{\sqrt{6}}}{3}}）$．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）过椭圆C的右焦点F作直线l，直线l与椭圆C相交于A、B两点，当△OAB的面积最大时，求直线l的方程．

Answer 1

分析 （1）由题意设出椭圆方程，结合定义求得a，再由隐含条件求得b，则椭圆方程可求；
（2）设出过F（2，0）的直线的方程为：x=my+2，联立直线方程和椭圆方程，化为关于y的一元二次方程，利用弦长公式求得|AB|，再由点到直线的距离公式求得O到AB所在直线的距离，代入三角形面积公式，利用换元法求得△OAB的面积最大时的m值，则直线l的方程可求．

解答 解：（1）∵椭圆C的焦点在x轴上，∴设它的标准方程为：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞b＞0}）$，
由椭圆的定义知：$2a=\sqrt{{{（{2+2}）}^2}+{{（{\frac{{\sqrt{6}}}{3}}）}^2}}+\sqrt{{{（{2-2}）}^2}+{{（{\frac{{\sqrt{6}}}{3}}）}^2}}=2\sqrt{6}$，
∴$a=\sqrt{6}$，
又∵c=2，∴b²=a²-c²=6-4=2，
因此，所求椭圆C的方程为$\frac{x^2}{6}+\frac{y^2}{2}=1$；
（2）设过F（2，0）的直线的方程为：x=my+2，
联立$\left\{{\begin{array}{l}{x=my+2}\\{\frac{x^2}{6}+\frac{y^2}{2}=1}\end{array}}\right.$，消x得：（m²+3）y²+4my-2=0，
∴${y_1}{y_2}=\frac{-2}{{{m^2}+3}}，{y_1}+{y_2}=\frac{-4m}{{{m^2}+3}}$，
∴$|{AB}|=\sqrt{（{1+{m^2}}）[{{{（{\frac{-4m}{{{m^2}+3}}}）}^2}-4•\frac{-2}{{{m^2}+3}}}]}=\frac{{2\sqrt{6}（{{m^2}+1}）}}{{{m^2}+3}}$，
∵O到直线l的距离$d=\frac{2}{{\sqrt{{m^2}+1}}}$，
∴${S_{△OAB}}=\frac{1}{2}•\frac{{2\sqrt{6}（{{m^2}+1}）}}{{{m^2}+3}}•\frac{2}{{\sqrt{{m^2}+1}}}=\frac{{2\sqrt{6}\sqrt{{m^2}+1}}}{{{m^2}+3}}$，
令$t=\sqrt{{m^2}+1}$，则m²+3=t²+2，
∴${S_{△OAB}}=\frac{{2\sqrt{6}t}}{{{t^2}+2}}=\frac{{2\sqrt{6}}}{{t+\frac{2}{t}}}≤\sqrt{3}$，当且仅当$t=\frac{2}{t}$，即t²=m²+1=2，
即m=±1时，取“=”，
∴△OAB的面积最大时，直线l的方程为：x+y-2=0或x-y-2=0．

点评 本题考查椭圆的简单性质，考查直线与椭圆位置关系的应用，训练了利用换元法求函数的最值，是中档题．