Question

18．如图是某几何体的三视图，则该几何体外接球的体积为（　　）

• A． $\frac{{\sqrt{6}}}{32}π{a^3}$
• B． $\frac{{\sqrt{6}}}{8}π{a^3}$
• C． $\sqrt{6}π{a^3}$
• D． $\frac{{\sqrt{6}}}{3}π{a^3}$

Answer 1

分析 由正四面体的棱长为a，所以此四面体一定可以放在棱长为$\frac{\sqrt{2}}{2}$a的正方体中，所以此四面体的外接球即为此正方体的外接球，由此能求出此四面体的外接球的半径，再代入体积公式计算．

解答 解：由题意，由三视图得该几何体是正四面体，棱长为a，此四面体一定可以放在正方体中，
∴我们可以在正方体中寻找此四面体．
如图所示，四面体ABCD满足题意，BC=a，
∴正方体的棱长为$\frac{\sqrt{2}}{2}$a，
∴此四面体的外接球即为此正方体的外接球，
∵外接球的直径=正方体的对角线长，
∴外接球的半径为R=$\frac{\sqrt{6}}{4}$a，
∴该几何体外接球的体积为V=$\frac{4}{3}$πR³=$\frac{\sqrt{6}}{8}$πa³．
故选：B．

点评 本题考查了由三视图求几何体的体积，关键是对几何体正确还原，并根据三视图的长度求出几何体的几何元素的长度，还需要求出外接球的半径，进而求出它的体积，考查了空间想象能力．