Question

6．一个正四棱柱的顶点均在半径为1的球面上，当正四棱柱的侧面积取得最大值时，正四棱柱的底面边长为（　　）

• A． $\frac{{\sqrt{2}}}{2}$
• B． $\sqrt{2}$
• C． $\frac{1}{2}$
• D． 1

Answer 1

分析 设正四棱柱的底面边长为a，高为h，则2a²+h²=4≥2$\sqrt{2}$ah，可得正四棱柱的侧面积最大值，即可求出正四棱柱的底面边长．

解答 解：设正四棱柱的底面边长为a，高为h，则2a²+h²=4≥2$\sqrt{2}$ah，
∴ah≤$\sqrt{2}$，当且仅当h=$\sqrt{2}$a=$\sqrt{2}$时取等号，
∴正四棱柱的侧面积S=4ah≤4$\sqrt{2}$，
∴该正四棱柱的侧面积最大时，h=$\sqrt{2}$，a=1，
故选：D．

点评 本题考查正四棱柱的侧面积取得最大值，考查学生的计算能力，正确运用基本不等式是关键．