Question

8．在棱长为1的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，M，N分别为A₁B₁，C₁C的中点．
（1）画出过D，M，N点的平面与平面BB₁C₁C及与平面AA₁B₁B的交线；
（2）设过D，M，N三点的平面与B₁C₁交于P，求PM+PN的值．

Answer 1

分析 （1）延长D₁C₁，在D₁C₁的延长线上取点E，使C₁E为1，延长D₁A₁，在D₁A₁的延长线上取点Q，使A₁D为$\frac{1}{3}$，连结DQ，交AA₁于R，连结EQ，交A₁B₁于M，交B₁C₁于P，连结PN，MR．则D，M，N点的平面与平面BB₁C₁C的交线为PN，过D，M，N点的平面与平面BB₁C₁C的交线为MR．
（2）过D，M，N三点的平面是△DQE，且PC₁=$\frac{1}{2}{D}_{1}Q$=$\frac{2}{3}$，PB₁=$\frac{1}{3}$，C${\;}_{1}N={B}_{1}M=\frac{1}{2}$，由此能求出PM+PN的值．

解答 解：（1）延长D₁C₁，在D₁C₁的延长线上取点E，使C₁E为1，
延长D₁A₁，在D₁A₁的延长线上取点Q，使A₁D为$\frac{1}{3}$，
连结DQ，交AA₁于R，
连结EQ，交A₁B₁于M，交B₁C₁于P，
连结PN，MR．
∵NC₁∥DD₁，∴$\frac{EN}{ED}=\frac{E{C}_{1}}{E{D}_{1}}$=$\frac{1}{2}$，
∵PC₁∥QD₁，∴$\frac{EP}{EQ}=\frac{E{C}_{1}}{E{D}_{1}}$=$\frac{1}{2}$，
∴PN∥DR，
∴D，R，Q，M，P，N，E共面，
又PN?平面BB₁C₁C，∴D，M，N点的平面与平面BB₁C₁C的交线为PN．
同理，由RA₁∥DD₁，得$\frac{QR}{QD}=\frac{Q{A}_{1}}{Q{D}_{1}}$=$\frac{1}{4}$，
由MA₁∥ED₁，得$\frac{QM}{QE}=\frac{Q{A}_{1}}{Q{D}_{1}}$=$\frac{1}{4}$，
∴$\frac{QR}{QD}=\frac{QM}{QE}$，∴MR∥DN，
∴D，R，Q，M，P，N，E共面，
又MR?平面AA₁B₁B，∴过D，M，N点的平面与平面BB₁C₁C的交线为MR．
（2）由（1）知过D，M，N三点的平面是△DQE，
且PC₁=$\frac{1}{2}{D}_{1}Q$=$\frac{2}{3}$，PB₁=$\frac{1}{3}$，C${\;}_{1}N={B}_{1}M=\frac{1}{2}$，
∴PM+PN=$\sqrt{P{{B}_{1}}^{2}+M{{B}_{1}}^{2}}$+$\sqrt{P{{C}_{1}}^{2}+{C}_{1}{N}^{2}}$=$\sqrt{\frac{13}{36}}+\sqrt{\frac{25}{36}}$=$\frac{5+\sqrt{13}}{6}$．

点评 本题考查平面与平面的交线的作法，考查线段和的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意平面的基本性质及推论的合理运用．