Question

5．已知F₁、F₂分别为双曲线C：$\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{5}$=1的左、右焦点，P为双曲线C右支上一点，且|PF₁|=2|PF₂|，则△PF₁F₂外接圆的面积为（　　）

• A． $\frac{4π}{15}$
• B． $\frac{16π}{15}$
• C． $\frac{64π}{15}$
• D． $\frac{256π}{15}$

Answer 1

分析 先由双曲线的方程求出|F₁F₂|=6，再由|PF₁|=2|PF₂|，求出|PF₁|，|PF₂|，由此能求出△PF₁F₂的面积，利用余弦定理求得cos∠PF₁F₂，由正弦定理求得△PF₁F₂外接圆的半径，即可求得△PF₁F₂外接圆的面积．

解答 解：双曲线C：$\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{5}$=1，的两个焦点F₁（-3，0），F₂（3，0），|F₁F₂|=6，a=2，
由|PF₁|=2|PF₂|，设|PF₂|=x，则|PF₁|=2x，
由双曲线的性质知，2x-x=4，解得x=4．
∴|PF₁|=8，|PF₂|=4，
∵|F₁F₂|=6，∴p=$\frac{4+6+8}{2}$=9，
∴△PF₁F₂的面积S=$\sqrt{9（9-4）（9-6）（9-8）}$=3$\sqrt{15}$．
在△PF₁F₂中，由余弦定理可知：cos∠PF₁F₂=$\frac{丨P{F}_{1}{丨}^{2}+丨P{F}_{2}{丨}^{2}-丨{F}_{1}{F}_{2}{丨}^{2}}{2丨P{F}_{1}丨丨P{F}_{2}丨}$=$\frac{7}{8}$，
由0∠PF₁F₂＜π，则sin∠PF₁F₂=$\frac{\sqrt{15}}{8}$，
$\frac{丨P{F}_{2}丨}{sin∠P{F}_{1}{F}_{2}}$=2R，R为△PF₁F₂外接圆的半径，
则R=$\frac{16}{\sqrt{15}}$，
∴△PF₁F₂外接圆的面积S=πR²=$\frac{256π}{15}$，
故选D．

点评 本题考查双曲线的性质和应用，考查三角形面积的计算，正弦定理及余弦定理的应用，考查计算能力，属于中档题．