题目内容
15．某商场举行促销活动，有两个摸奖箱，A箱内有一个“1”号球、两个“2”号球、三个“3”号球、四个无号球，B箱内有五个“1”号球、五个“2”号球，每次摸奖后放回．消费额满100元有一次A箱内摸奖机会，消费额满300元有一次B箱内摸奖机会，摸得有数字的球则中奖，“1”号球奖50元、“2”号球奖20元、“3”号球奖5元，摸得无号球则没有奖金．（Ⅰ）经统计，消费额X服从正态分布N（150，625），某天有1000位顾客，请估计消费额X
（单位：元）在区间（100，150]内并中奖的人数；
附：若$X\～N（μ，\;{σ^2}）$，则P（μ-σ＜X＜μ+σ）=0.6826，P（μ-2σ＜X＜μ+2σ）=0.9544．
（Ⅱ）某三位顾客各有一次A箱内摸奖机会，求其中中奖人数ξ的分布列；
（Ⅲ）某顾客消费额为308元，有两种摸奖方法，方法一：三次A箱内摸奖机会；方法二：一次B箱内摸奖机会．请问：这位顾客选哪一种方法所得奖金的期望值较大．
分析 （Ⅰ）依题意得μ=150，σ2=625，得σ=25，100=μ-2σ，消费额X在区间（100，150]内的顾客有一次A箱内摸奖机会，中奖率为0.6，人数约为1000×P（μ-2σ＜X≤μ），可得其中中奖的人数．
（Ⅱ）三位顾客每人一次A箱内摸奖中奖率都为0.6，三人中中奖人数ξ服从二项分布B（3，0.6），$P（ξ=k）=C_3^k{0.6^k}•{0.4^{3-k}}$，（k=0，1，2，3），即可得出．
（Ⅲ）利用数学期望的计算公式即可得出．
解答 解：（Ⅰ）依题意得μ=150，σ2=625，得σ=25，100=μ-2σ，------------（1分）
消费额X在区间（100，150]内的顾客有一次A箱内摸奖机会，中奖率为0.6，---------（2分）
人数约为1000×P（μ-2σ＜X≤μ）=$1000×\frac{0.9544}{2}$=477人，------------------------（3分）
其中中奖的人数约为477×0.6=286人；--------------------------------------------------------（4分）
（Ⅱ）三位顾客每人一次A箱内摸奖中奖率都为0.6，
三人中中奖人数ξ服从二项分布B（3，0.6），$P（ξ=k）=C_3^k{0.6^k}•{0.4^{3-k}}$，（k=0，1，2，3）----------------------------------------------------（6分）
故ξ的分布列为
| ξ | 0 | 1 | 2 | 3 |
| P | 0.064（或$\frac{8}{125}$） | 0.288（或$\frac{36}{125}$） | 0.432（或$\frac{54}{125}$） | 0.216（或$\frac{27}{125}$） |
（Ⅲ）A箱摸一次所得奖金的期望值为50×0.1+20×0.2+5×0.3=10.5，-------------------------（9分）
B箱摸一次所得奖金的期望值为50×0.5+20×0.5=35，---------------------------------------（10分）
方法一所得奖金的期望值为3×10.5=31.5，方法二所得奖金的期望值为35，
所以这位顾客选方法二所得奖金的期望值较大．-----------------------------------------------（12分）
点评 本题考查了正态分布、二项分布列及其数学期望，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
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