Question

5．如图，在四棱锥P-ABCD 中，PD⊥底面ABCD，AB∥DC，CD=2AB，AD⊥CD，E为棱PD的中点．
（Ⅰ）求证：CD⊥AE；
（Ⅱ）求证：平面PAB⊥平面PAD；
（Ⅲ）试判断PB与平面AEC是否平行？并说明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）PD⊥底面ABCD，DC?底面ABCD⇒PD⊥DC．又AD⊥DC，AD∩PD=D故CD⊥平面PAD．又AE?平面PAD，得CD⊥AE．
（Ⅱ）由AB∥DC，CD⊥平面PAD，⇒AB⊥平面PAD．又由AB?平面PAB，得平面PAB⊥平面PAD．
（Ⅲ）PB与平面AEC不平行．假设PB∥平面AEC，由已知得到$\frac{AB}{CD}=\frac{OB}{OD}=\frac{1}{2}$，这与OB=OD 矛盾．

解答 解：（Ⅰ）因为PD⊥底面ABCD，DC?底面ABCD，
所以PD⊥DC．又AD⊥DC，AD∩PD=D故CD⊥平面PAD．
又AE?平面PAD，所以CD⊥AE．
（Ⅱ）因为AB∥DC，CD⊥平面PAD，所以AB⊥平面PAD．
又因为AB?平面PAB，所以平面PAB⊥平面PAD．
（Ⅲ）PB与平面AEC不平行．
假设PB∥平面AEC，
设BD∩AC=O，连结OE，则平面EAC∩平面PDB=OE，又PB?平面PDB----------（1分）
所以PB∥OE．所以，在△PDB 中有$\frac{OB}{OD}$=$\frac{PE}{ED}$，
由E是PD中点可得$\frac{OB}{OD}=\frac{PE}{ED}=1$，即OB=OD．
因为AB∥DC，所以$\frac{AB}{CD}=\frac{OB}{OD}=\frac{1}{2}$，这与OB=OD 矛盾，
所以假设错误，PB与平面AEC不平行．
（注：答案中标灰部分，实际上在前面表达的符号中已经显现出该条件，故没写不扣分）

点评 本题考查了线线垂直、线面垂直、线面平行的判定，属于基础题．