Question

7．已知f（x）=（$\frac{x-1}{x+1}$）²（x＞1）
（1）求f（x）的反函数及其定义域；
（2）若不等式（1-$\sqrt{x}$）f^-1（x）＞a（a-$\sqrt{x}$）对区间x∈[$\frac{1}{4}$，$\frac{1}{2}$]恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求出f（x）的值域，即f^-1（x）的定义域，令y=（$\frac{x-1}{x+1}$）²，解得x=$\frac{\sqrt{y}+1}{1-\sqrt{y}}$，可得f^-1（x）．
（2）不等式（1-$\sqrt{x}$）f^-1（x）＞a（a-$\sqrt{x}$）在区间x∈[$\frac{1}{4}$，$\frac{1}{2}$]恒成立?$\sqrt{x}+1＞{a}^{2}-a\sqrt{x}$在区间x∈[$\frac{1}{4}$，$\frac{1}{2}$]恒成立，$\sqrt{x}（1+a）＞{a}^{2}-1$对区间x∈[$\frac{1}{4}$，$\frac{1}{2}$]恒成立．

解答 解；（1）∵x＞1，∴0＜f（x）＜1．令y=（$\frac{x-1}{x+1}$）²（x＞1），解得x=$\frac{\sqrt{y}+1}{1-\sqrt{y}}$，∴f^-1（x）=$\frac{\sqrt{x}+1}{1-\sqrt{x}}$（0＜x＜1）；
（2）∵f^-1（x）=$\frac{\sqrt{x}+1}{1-\sqrt{x}}$（0＜x＜1），∴不等式（1-$\sqrt{x}$）f^-1（x）＞a（a-$\sqrt{x}$）在区间x∈[$\frac{1}{4}$，$\frac{1}{2}$]恒成立?$\sqrt{x}+1＞{a}^{2}-a\sqrt{x}$在区间x∈[$\frac{1}{4}$，$\frac{1}{2}$]恒成立，
$\sqrt{x}（1+a）＞{a}^{2}-1$对区间x∈[$\frac{1}{4}$，$\frac{1}{2}$]恒成立．
当a=-1时，不成立，
当a＞-1时，a＜$\sqrt{x}+1$在区间x∈[$\frac{1}{4}$，$\frac{1}{2}$]恒成立，a＜（$\sqrt{x}+1$）_min，-1＜a＜$\frac{3}{2}$．
当a＜-1时，a＞$\sqrt{x}+1$在区间x∈[$\frac{1}{4}$，$\frac{1}{2}$]恒成立，a＞（$\sqrt{x}+1$）_max，a无解．　
综上：实数a的取值范围：-1＜a＜$\frac{3}{2}$．

点评 本题考查了反函数的求法，不要忘记求出定义域，及函数恒成立问题的转化，属于基础题．