Question

10．设椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$的两焦点与短轴一端点组成一正三角形三个顶点，若焦点到椭圆上点的最大距离为$3\sqrt{3}$，则分别以a，b为实半轴长和虚半轴长，焦点在y轴上的双曲线标准方程为$\frac{{y}^{2}}{12}-\frac{{x}^{2}}{9}$=1．

Answer 1

分析 由椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$的两焦点与短轴一端点组成一正三角形三个顶点，可得b=$\sqrt{3}$c．由焦点到椭圆上点的最大距离为$3\sqrt{3}$，则a+c=3$\sqrt{3}$，又a²=b²+c²，联立解出即可得出．

解答 解：∵椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$的两焦点与短轴一端点组成一正三角形三个顶点，∴b=$\sqrt{3}$c．
由焦点到椭圆上点的最大距离为$3\sqrt{3}$，则a+c=3$\sqrt{3}$，又a²=b²+c²，
联立解得a²=12，b=3．
∴焦点在y轴上的双曲线标准方程为$\frac{{y}^{2}}{12}-\frac{{x}^{2}}{9}$=1．
故答案为：$\frac{{y}^{2}}{12}-\frac{{x}^{2}}{9}$=1．

点评 本题考查了椭圆的标准方程及其性质、等边三角形的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．