Question

11．已知圆C：x²+y²+6x+8=0的圆心为C，圆外一定点A（3，0），圆上一点动B，线段AB的垂直平分线交BC于点M，求M的轨迹方程，并说明它是什么曲线．

Answer 1

分析 由圆的方程可以得出圆心C（-3，0），半径为1，可画出图形，并连接MA，由图形便可得出||MA|-|MC||=1，根据双曲线的定义便知M的轨迹为双曲线，并可求出a，b，从而可得出双曲线的方程．

解答 解：圆的方程变成：（x+3）²+y²=1，∴圆心C（-3，0），半径为1，如图，连接MA，则|MB|=|MA|；
∵||MB|-|MC||=1；
∴||MA|-|MC||=1＜6；
∴M点的轨迹是以C（-3，0），A（3，0）为焦点，实轴长为1的双曲线；
$a=\frac{1}{2}，c=3，{b}^{2}=\frac{35}{4}$；
∴M点的轨迹方程为$\frac{{x}^{2}}{\frac{1}{4}}-\frac{{y}^{2}}{\frac{35}{4}}=1$；
即$4{x}^{2}-\frac{4{y}^{2}}{35}=1$．

点评 考查线段垂直平分线上的点到两个端点的距离相等，圆的一般方程和标准方程，圆的圆心和半径，以及双曲线的定义．