Question

19．已知二次函数f（x）满足f（0）=1，且f（x+1）-f（x）=2x．
（1）求f（x）的解析式；
（2）若g（x）=f（log_ax）（a＞0且a≠1），$x∈[{a，\;\;\frac{1}{a}}]$，试求g（x）的最值．

Answer 1

分析 （1）使用待定系数法求出解析式；
（2）利用换元法转化成二次函数求出．

解答 解：（1）设f（x）=ax²+bx+c，
∵f（0）=1，∴c=1，
∴f（x+1）-f（x）=2ax+a+b，
∵f（x+1）-f（x）=2x，
∴$\left\{\begin{array}{l}2a=2\\ a+b=0\end{array}\right.∴a=1，b=-1$，
∴f（x）=x²-x+1．
（2）∵f（x）=x²-x+1
∴$g（x）=f（{log_a}x）={（{log_a}x）^2}-{log_a}x+1$，$x∈[{a，\frac{1}{a}}]$．
令t=log_ax，
则g（x）=h（t）=t²-t+1，
∵$a≤x≤\frac{1}{a}又a＞0且a≠1$∴$a＜\frac{1}{a}即0＜a＜1$，
∴t=log_ax在$[{a，\frac{1}{a}}]$上单减，
∴-1≤t≤1，
又g（t）的对称轴为$t=\frac{1}{2}$，
∴t=$\frac{1}{2}$时，h_min（t）=$\frac{3}{4}$，
∴t=-1时，h_max（t）=3，
∴g（x）的最大值是3，g（x）的最小值是$\frac{3}{4}$．

点评 本题考查了待定系数法求函数解析式，换元法解决复合函数问题，属于中档题．