Question

已知2x+3y+4z=10，则x²+y²+z²的最小值为

 

．

Answer 1

考点：基本不等式,函数最值的应用

专题：不等式的解法及应用

分析：本题可先利用三个变量x，y，z的关系消去一个变量，如消去x，得到两个变量y，z，再通过配方，利用完全平方非负，得到所求代数式的最小值．

解答： 解：∵2x+3y+4z=10，
∴x=5-

3

2

y-2x．
∴x²+y²+z²
=(5-

3

2

y-2z)2+y2+z2
=

13

4

y2+5z2+6zy-15y-20x+25
=

13

4

y2+(6z-15)y+5z2-20z+25
=

13

4

[y+

2(6z-15)

13

]2+

29

13

z2-

80

13

z+

100

13

=

13

4

(y+

12z-30

13

)2+

29

13

(z-

40

29

)2+

100

29

≥

100

29

．
故答案为：

100

29

．

点评：本题考查的是函数最值的求法，主要通过消元和配方解决问题，注意配方之后的再配方，即二次配方．本题的计算要细心，容易出错．本题有一定的思维量，计算较繁，属于中档题．